논리적 표현

1. 명제(Statement 또는 Proposition)

• 참 또는 거짓으로 판명된 문장(Statement)

  예시: 사람은 동물이다. 컴퓨터는 기계이다. 유리는 모래로 만든다. 지구는 자전한다 등…

2. 논증(Argument)

• 정의
  • 어떤 주장이 옳다는 것을 보이기 위한 명제들의 나열
    • 명제의 나열 → 논증
    • 명제식의 나열 → 논증식
• 형태
  • 명제 + 명제 + 명제(전제) … + 명제(결론)
  • 일반적인 형태
    • If p then q.
therefore, if not q, then not p.

3. 논리식

• 명제변수 + 논리 접속사(명제 → 명제식, 논증 → 논증식)
• 논리식이 진리값을 가지면 그 자체가 명제가 됨

3.1. 논리접속사

구분	표기	우선 순위
부정(Negation)	~p, not p	1
논리곱(Conjunction)	p ∧ q, p and q	2(논리합과 동등)
논리합(Disjunction)	p ∨ q, p or q	2(논리곱과 동등)

3.2. 진리값

• 복합문장(논리식)이 명제가 되기 위해서는 True 또는 False의 값(진리값)을 가져야 함

3.3. 진리표

• 명제식을 구성하는 명제들의 진리값 조합

  p	q	논리곱(p ∧ q)	논리합(p ∨ q)		p	부정(~p)
  True	True	True	True		True	False
  True	False	False	True		False	True
  False	True	False	True		-	-
  False	False	False	False		-	-

4. 조건명제(Conditional Statement)

• p와 q가 명제변수이면, p에 의한 q의 조건명제는 if p then q이고 p → q로 표기
  • p: 가설(Hypothesis) or 전제(Premise)
  • q: 결론(Conclusion)

  예시 : 27이 9의 배수이면(Premise) 27은 3의 배수이다(Conclusion)

• 가설이 True이고 결론이 False일 때만 False, 그 외에는 True인 진리값을 가짐

• 조건명제의 진리표

  p(가설)	q(결론)	p → q	remark
  True	True	True
  True	False	False
  False	True	True	공진리, 무위진리
  False	False	True

4.1. 공진리

• 가설이 False인 경우, 결론이 True이든 False이든 명제 전체는 True임

4.2. Only if

• p only if q는 q일 때만 p가 일어난다는 것을 의미

4.3. 쌍방조건명제(iff)

• p if, and only if q, p ⟷ q, (p → q) ∧ (q → p)
• p와 q가 같은 진리값일 때만 True이고, 다른 진리값이면 False.

4.4. 필요 충분조건

• if p then q에서
  • p는 q의 충분조건(Sufficient condition)
    → p는 q가 일어나는 것을 보장
  • q는 p의 필요조건(Necessary condition)
    → q의 발생이 p가 발생하는데 꼭 필요

4.5. 명제의 동치, 부정, 대우, 역, 이

구분	Expression	Remark
동치	p → q ≡ ~p ∨ q
부정	~(p → q) ≡ p ∧ ~q
대우	p → q ≡ ~q → ~p
역	q → p	조건명제와 논리적 동치가 아님
이	~p → ~q	조건명제와 논리적 동치가 아님 →역과 이는 대우관계이므로 논리적 동치임

참고 : If와 Only if의 차이
If와 Only if는 미묘한 차이가 있다. If는 결론 명제를 무조건 보장하는 반면, Only if는 결론 명제의 조건이다.

If: 단어 시험에 만점을 받으면 A+을 받는다
→ 단어 시험에 만점을 받으면 무조건 A+을 받는다 → 그러나 단어 시험만이 A+의 유일한 방법은 아니다.

Only if: 단어 시험에 만점을 받을 때만 A+을 받는다
→ A+을 받으려면 단어 시험 만점을 받아야만 한다 → 그러나 단어시험에 만점 받았다고 A+이라는 의미는 아니다.

5. 논리적 동치(Logically equivalent)

• 의미
  • 두 명제식의 명제변수들을 모든 가능한 명제로 다른 명제로 대체했을 때도 두 명제식의 진리값이 항상 동일할 때 두 명제식을 논리적 동치라고 함.
• 표기 : P ≡ Q
• 판별
  • 명제식만으로 판별 가능
  • 반례가 있는 경우 동치가 아님
• 드모르간의 법칙(De morgan’s Law)
  • and의 부정 : ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
  • or의 부정 : ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

6. 논증식

• 의미
  • 명제식의 나열
    • 명제식 + 명제식 + 명제식(전제)… + 명제식(결론)
  • 정당한 논증(정당성)
    • 명제변수가 어떤 명제로 대체되더라도 전체가 전부 True인 논증
      (반. 부당한 논증)
    • 논증 내용이 아닌 논증 형태로 결정됨
    • 논증이 부당하다고 결론이 반드시 False는 아님

6.1. 정당성 검사

• 모든 전제가 True인 모든 경우에 결론이 True이어야만 정당하다
  • 정당성 결정행(Critical row) : 진리표에서 모든 전제가 True인 행

  p	q	p → q (Premise1)	p (Premise2)	q (Conclusion)	Remark
  True	True	True	True	True	Critical row
  True	False	False	True	False
  False	True	True	False	False
  False	False	True	False	False

6.2. 추론규칙

• 긍정논법(전건긍정)
  • 전제 2개(대전제, 소전제), 결론으로 이루어진 논증식
  • 삼단논법이라고도 함
• 부정논법(후건긍정)
  • 모순에 의한 증명법
  • 마지막 행이 모두 참인 유일한 행
• 일반화 규칙
• 특수화 규칙
• 소거규칙
• 천이규칙
• 사례분할에 의한 증명 등

6.3. 모순규칙

• 명제 p를 False라 가정할 때 논리적으로 모순이 생기면, p가 True라 결론내릴 수 있음
• If ~p then c.
  ∴ p